TS SI: cours du 03 / 04 (live)
Bonjour,
Vous êtes invité(e) à participer à une réunion.
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https://t-4590.educnat-ensemble.scaleway.com/yaT0B1JbAG
- retour sur le DM
ex complexes : attention à bien faire le lien entre complexes et géométrie, ici le lien est fait par le module.
ex intégrale: beaucoup de calculs, utilisez le th de Chasles pour séparer l’intégrale sur les 2 intervalles.
- retour sur le sujet loi expo, semble-t-il aucun problème.
- Cours : Logarithme népérien
Pas trop de difficultés de compréhension semble-t-il;
le cours en effet comme je vous l’avais dit il y a longtemps, n’est que les mêmes notions vues pour toutes les fonctions appliquées à cette nouvelle fonction.
I Fonction ln
On a définit la fonction ln comme réciproque de la fonction expo. (TVI)
Soyez vigilent sur les ensembles de définition et d’arrivé.
la fonction expo est définie de IR dans IR+* et réciproquement la fonction ln de IR+* dans IR.
Vous devez retenir le graph avec les deux courbes et la première bissectrice comme axe de symétrie.
Passons aux conséquences de la stricte monotonie qui sont les résolutions d’équations et d’inéquation…
Vous avez ici le même travail que pour le cours de la fonction expo sauf …
…. Qu’il faut traiter en amont l’ensemble de validité de ces équations ou inéquations (ce qui est “dans” le ln doit être strictement positif / la fonction ln est définie sur IR+*).
les inéquations sont notamment utiles dans la recherche de signe de fonctions dérivées.
Pour résoudre c’est équations et inéquations il nous faut des outils algébriques d’où II Propriétés algébriques:
il s’agit des propriétés réciproques de celles de l’exponentielle.
Pour vous entraînez ex 11 et 12 p 157
puis ex 28 p 158 (inéquations)
et 41 o 159 (étude de fonction)
pour lundi ex 42 p 159 (dérivation)
et à rendre via pronote ex 49 p 159 (étude de fonction)
Monsieur je suis là mais le lien ne s’ouvre pas.
Prof vous invite à une réunion.
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Exercice 42 p 159
1) f(x)= 3x+5-ln(x)
f'(x)= 3-(1/x)
2) f(x)= ln(x)+x^4
f'(x)= (1/x)+ 4x^3
Mais j’ai un doute pour le premier ça m’a l’air trop simple
c’est très bien
Exercice 41 page 159
1) limite quand x tend vers 0 de x*ln(x)=0 (selon la propriété du cours)
—
Limite quand x tend vers +inf de ln(x)=+inf
Par produit, on a :
limite quand x tend vers +inf de x*ln(x)=+inf
2) (on a un produit de fonction)
f'(x)=1*ln(x)-x*(1/x)=ln(x)-1
3) ln(x)-1>0 ln(x)>1 ln(x)>ln(e) x>e
f'(x)]e;+-inf[
On en déduit que f est croissante sur ]0;e[ et décroissante sur ]e;+-inf[.
4) On en déduit que f admet un minimum sur ]0;+inf[ en e, tel que f(e)= e*ln(e)=e*1=e
ERRATUM : Ce corrigé n’est pas le bon
Exercice 41 page 159
1) limite quand x tend vers 0 de x*ln(x)=0 (selon la propriété du cours)
—
Limite quand x tend vers +inf de ln(x)=+inf
Par produit, on a :
limite quand x tend vers +inf de x*ln(x)=+inf
2) (on a un produit de fonction)
f'(x)=1*ln(x)-x*(1/x)=ln(x)-1
3) ln(x)-1>0 eq ln(x)>1 eq ln(x)>ln(e) eq x>e
f'(x) ]e;+-inf[
On en déduit que f est croissante sur ]0;e[ et décroissante sur ]e;+inf[.
4) On en déduit que f admet un minimum sur ]0;+inf[ en e, tel que f(e)= e*ln(e)=e*1=e
Merci, quelques réécritures :
Exercice 41 page 159
1) limite quand x tend vers 0 de x*ln(x)=0 (selon la propriété du cours)
—
Limite quand x tend vers +inf de ln(x)=+inf
Par produit, on a :
limite quand x tend vers +inf de x*ln(x)=+inf
2) (on a un produit de fonction)
f'(x)=1*ln(x)-x*(1/x)=ln(x)-1
3) ln(x)-1>0 équivalent ln(x)>1 équivalent ln(x)>ln(e) équivalent x>e
f'(x)>0 équivalent x € ]e;+inf[
On en déduit que f est croissante sur ]0;e[ et décroissante sur ]e;+inf[.
4) On en déduit que f admet un minimum sur ]0;+inf[ en e, tel que f(e)= e*ln(e)=e*1=e
Alors pour le 13 (p.158)
Je sais pas si tout est correct:
A = e^( (ln(6) – 2ln(3) )
= e^( ln(6/(3²))
= e^( ln (6/9))
= 6/9
A = 2/3
B = e^(3ln(2)- ln(4) + 1 )
= e^( ln( 2³/4 ) + 1 )
= e^ ln ( 2 + 1 )
= 3
C = ( e^(ln(5) – 1 ) / ( e^( 2 + ln ( 5 ) )
= e^( ln(5) – 1 – 2 – ln ( 5 )
= e^(-3)
D = ( e^( 2ln(3) – ln(2) ) / ( e^(-3ln(2))
= ( e^ln 3²/2 ) / 2^(-3)
= ( 9/2) / 2^(-3)
= 9/(2^(-2))
…
D = 9*4 = 36
merci Allan
la calculatrice set un bon moyen de vérification pour ceux qui en sont pas sûrs d’eux.
exercice 28 page 158
1) 2ln(x) >= ln(2-x) ln(x^2)>=ln(2-x) . La fonction ln est définié sur R+* donc x^2 et 2-x doivent être strictements positifs :
* x^2 prend ses valeurs dans R+ donc x>0
* 2-x >0 2>x x=ln(2-x) x^2 >= 2-x x^2 +x -2 >= 0.
Calculons le discriminant de l’équation x^2 +x -2 = 0 pour déterminer la ou les valeur(s) x pour la/lesquelle(s) ce polynôme vaut 0:
delta = 1-( -2*4)= 1+8 = 9 >0. L’équation admet deux solutions réelles:
x1= (-1-3)/2 = -2 et x2= (-1+3)/2= 1. Mais x1 n’appartient pas à E donc dans notre cas seule x2 est solution à l’équation x^2 +x -2 = 0.
a>0, on peut en déduire le tableau de signe de l’équation citée précédemment. ( je ne sais pas comment tracer un tableau de signe ici donc je passe directement aux intervalles). L’équation x^2 +x -2 >= 0 est vraie lorsque x appartient à ] – l’infini ; -2] U [ 1; + l’infini [. Mais pour satisfaire le domaine de définition de ln, E :
x doit appartenir à [ 1; 2]. Alors S= [ 1; 2].
Je ne sais pas si c’est bon :
Exercice 28 page 158
On a l’équation suivante : ln(x) + ln(2x+5) =0 x>-5/2
Le domaine est donc : ]-5/2 ; +infini[
Pour tout réel x > -5/2
ln(x) + ln(2x+5) =< ln(3)
x+2x+5 =< 3
x =< (3-5)/3
x =< -2/3
Ainsi S]-5/2 ; -2/3[
Qui peut nous aider?
exercice 42 page 159
3) f(x)= 1/x+ 4 Ln x
f(x)=1/x+4 Ln x
f’ (x) =-1/x² + 4 * 1/x
= -1/x² + 4/x
4) (Ln x) (x+1)
f'(x) = 1/x (x+1) + Ln x *1
= (x+1)/x + Ln x
corrigé
3) de l’exo 28
ln(4x)-ln(2)<2ln4; ln est définie sur R+*, ce qui fait que sa doit être strictement positif.
ln(4x/2)<ln4² ln2x < ln16.
Donc on obtient 2x<16 ce qui donne x<8
alors on a S=[0;8]
sorry pour le retard !!
c’est quoi “sa”? traduit en “ça” j’imagine?
https://www.google.com/search?q=%C3%A7a&tbm=isch&ved=2ahUKEwirqv2_mtLoAhVR2xoKHR6EDwwQ2-cCegQIABAA&oq=%C3%A7a&gs_lcp=CgNpbWcQAzIECAAQQzIECAAQQzIECAAQQzIECAAQQzIECAAQQzICCAAyBQgAEIMBMgQIABBDMgIIADIECAAQQ1Cp0wNY7dUDYIbZA2gAcAB4AIAB_QGIAekDkgEDMi0ymAEAoAEBqgELZ3dzLXdpei1pbWc&sclient=img&ei=jEqKXqu0AtG2a56IvmA&client=firefox-b-d
Sinon ça me semble bien (ton travail). merci