24/08/15
Article écrit par Lois:
Fonction polynôme du second degré et forme canonique
Nous avons appris pendant ces premiers cours de mathématiques de l’année qu’est-ce qu’une fonction polynôme du second degré, qu’est-ce que la forme canonique, à quoi sert-elle et comment déterminer la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré.
J’ai compris qu’une fonction polynôme du second degré était une fonction f définie sur ℝ (ensemble des réels) ayant 3 coefficients (a, b et c dont a ≠ 0) et une variable x. Elle s’écrit sous cette forme : f(x) = ax² + bx +c
Mais elle peut aussi s’écrire sous une autre forme : f(x) = a(x-α)² + β
Cette forme s’appelle la forme canonique. Elle nous permet de trouver les coordonnées du sommet de la parabole de la fonction car α a la même valeur que l’abscisse du sommet et β celle de l’ordonnée.
Pour déterminer la forme canonique d’une fonction polynôme de second degré, il faut suivre 3 étapes.
La 1ère étape est de factoriser la fonction par a : f(x) = a(x² + b/a + c/a)
La 2e étape est de créer une identité remarquable pour remplacer x² et b/a dans le calcul de la fonction : (x + d)²
d étant égal à b/2a.
Cela donne donc : f(x) = a((x + d)² + c/a) = a(x² + 2dx + d² + c/a)
Mais cette égalité devient fausse à cause du + d² qu’on a du ajouter en remplaçant x² et b/a par l’identité remarquable. Pour la rendre correcte, il faut donc soustraire d² de la fonction.
Ce qui donne : f(x) = a(x² + 2dx + d² + c/a – d²) = a((x + d)² + c/a – d²)
La 3e et dernière étape est de soustraire d² de c/a en les développant.
c/a – d² = c/a – b²/4a²
= 4ac/4a² – b²/4a²
= 4ac – b²/4a²
Cela équivaut à dire que f(x) = a(x + d)² + 4ac – b²/4a²
Et voilà nous avons réussi à déterminer la forme canonique de la fonction !
d équivaut à α et 4ac – b²/4a² à β
C’est tout ! Merci d’avoir lu ! 😉
Compte rendu complet ! Rien a rajouter, Petite question par contre, comment cela se fait-il que “d” est équivaut a “alpha” ? (dans ton avant dernière phrase) Merci d’avance !
Au tant pour moi je retire ma question, après quelques minutes de réflexion intense. Sur ce, je vous laisse !
Le compte rendu est complet comme dit Thomas il n’y a rien à rajouter !
Merci à vous ! ^^
Et pour Thomas, d équivaut à α car il est égal à l’abscisse du sommet de la parabole de la fonction tout comme α tout simplement.
Bon je vais faire un peu comme tout le monde, le compte rendu est très complet bravo !
Tu aurais pu rajouter que alpha et beta sont les coordonnées du sommet de la parabole.
Merci Lois pour ton compte rendu très complet.Dans le cours,j’ai eu un peu de mal à créer l’identité remarquable et à comprendre comment elle se créais car il faut bien penser à rééquilibrer quand on ajoute un nombre en le soustrayant mais j’ai finalement compris en y réfléchissant plus amplement.
Merci à tous,à demain.
Article très complet . Je ne vois pas de chose à rajouter dans ton compte rendu.
Bravo et merci à Lois, en revanche tous les autres je vous demande plus de temps pour relire son article et y déceler les erreurs.
Contenue complet rien de plus a a rajouter sauf peut être une petite erreur quand tu dis dans l’étape 1 : ” f(x) = a(x² + b/a + c/a)” ce ne serait pas plutôt bx/a . Voila c’est tout.
Ne pouvant toujours pas écrire d’articles sur le blog, je poste celui du cours d’aujourd’hui en commentaire ici.
J’espère que vous pourrez le remettre sur le blog en article comme vous l’avez fait avec mon 1er article M. BLOCH.
Pendant le cours d’aujourd’hui nous avons corrigé mon article sur les fonctions polynômes du second degré et sur la fonction canonique. Ainsi nous avons mis en évidence des erreurs et des oublis dans mon article comme par exemple b/a dans « f(x) = a(x² + b/a + c/a) » qui était en fait (b/a)x (bravo à Maxime pour avoir été le seul à avoir repéré cette erreur d’ailleurs mais soigne quand même ton orthographe quand tu écris sur le blog) mais le point que j’ai trouvé le plus important dans cette correction était l’explication sur la signification du signe « équivalent » ( ↔ ) et sa différence avec le signe « égal » ( = ).
Lorsqu’un calcul est équivalent à un autre, cela signifie que si le 1er calcul est vrai, le 2e calcul l’est forcément aussi, mais ça ne signifie pas que les 2 calculs sont égaux !
Par exemple :
x+2=3
↔ x=1
y-1=0
↔ y=1
x=y
x est égal à 1 parce que x+2 est égal à 3, donc les deux calculs sont équivalents, mais x+2 n’est pas égal à x puisqu’ils sont égaux à deux valeurs différentes, 3 et 1. C’est la même chose pour y, y-1 est égal à 0 donc y est égal à 1, mais y-1 et y ne sont pas égaux. Par contre comme x et y sont tous les deux égaux à 1, ils sont égaux entre-deux, et non pas équivalents car x n’est pas égal à 1 parce que y l’est ou vice-versa.
Ensuite nous avons corrigé les exercices que nous avons faits chez nous.
Nous avons revu comment faire une identité remarquable à partir de x² et (b/a)x avec l’exercice 3 (je rappelle qu’il faut faire (x+(b/2a))² pour trouver l’identité), comment trouver rapidement la forme canonique d’un trinôme lorsqu’on a plusieurs choix disponibles en regardant le signe de a et en faisant b/2a avec l’exercice 11, comment retrouver le graphique d’une fonction de second degré en regardant -a dans la fonction pour savoir si son graphique doit pointer vers le haut ou vers le bas et en regardant α et β dans la fonction pour trouver les coordonnées du sommet de son graphique pour l’exercice 16 et comment « tricher » pour trouver les réponses des deux précédents exercices en traçant les graphiques de ces fonctions sur nos calculatrices ou Geogebra. L’exercice 32 nous a permis de nous entrainer pour déterminer la forme canonique d’une fonction polynôme de second degré.
Ensuite Thomas a lu l’algorithme que nous avons fait chez nous pour trouver l’alpha et la beta d’une fonction polynôme de second degré automatiquement. « Input » et « Prompt » nous permettent d’entrer une valeur, à la différence que « Input » ne montre pas pour quelle variable on entre une valeur alors que « Prompt » si, « Disp » permet d’afficher une information, comme un texte ou un résultat et « sto » est l’abréviation de « stocker ».
Enfin, nous avons continué d’écrire la leçon sur le second degré avec la partie C « Variations » qui dit que si a est plus petit que 0 dans une fonction polynôme de second degré, la parabole de la fonction « regarde vers le bas » et que si a est plus grand que 0, la parabole de la fonction « regarde vers le haut », comme nous l’avions vu dans l’exercice 16.
Eh bien je pense que j’ai tout dit ! ^^