Cours du 13/04

Bonjour, hier nous avons continué le chapitre sur les nombres complexes, ainsi je vous fais part de la leçon assez détaillé pour ceux qui n’étaient pas là et de divers petits astuces pour toute la classe.

Pour la suite de ce chapitre il sera nécessaire de connaitre le cercle trigonométrique, voici un petit rappel

:

Avant de passer au grand II de la leçon, nous pouvons retenir que le module est une longueur et se note |z| et l’argument est un angle et se note arg(z). (Arg(z)=/2 + 2k)

Dans un premier temps nous avons vu les propriétés sur les modules et arguments (II) On appelle module du nombre complexe z = x+iy le réel positif , le module est donc toujours positif. Il faudra alors retenir que pour calculer le module on utilisera |z|=√(x²+y²).

Puis nous avons étudié différentes propriétés et démonstrations sur les modules puis sur l’argument.

a) Sur les modules

Soient z₁  et  z₂ appartient à C.                                                                                                 |z₁z₂|=|z₁|*|z₂|.

Si z₂ différent de 0. |1/z2|=1/z2

Démo : Soit z₁=x+iy   x,y,x’ et y’ appartiennent à R

z₂=x’+iy’

1) |z1*z2|= (xx’-yy’) + i(xy’-x’y) =√((xx’-yy’)²+(xy’+x’y)²)                                                                               z1|*|z2|= √(x²+y²)*√(x’²+y’²)=√(x^2*x’^2+y^2*y’^2+x^2*y’^2+x’^2*y^2)=√((x^2+y^2)+(x’^2+y’^2))

2) 1/|z2|= 1/√(x’^2+y’^2)

|1/z2 |= z2barre/z2*z2barre= x’-y’i/z2barre=√((x’^2+y’^2) / (|z|^2)^2)= |z2|/|z2|^2=1/|z2|

Afin d’établir la troisième démonstration il faudra s’aider de la première ainsi que de la deuxième pour  |z1/z2 |.

Nous retiendrons que pour tout z appartenant à C : |z|=|-z|=| /z|= |-/z|

b) Sur l’argument                                                                                                                                               Propriété: Soit z appartenant à C* et z’ appartenant à C*

 1) arg(z*z’)=arg(z)+arg(z’)     modulo 2pi                                      

2) arg(1/z)= -arg(z’)      modulo 2pi                        

3) arg(z/z’)=arg(z)-arg(z’)   modulo 2pi 

Ici, les propriétés sur l’argument peuvent nous rappeler les propriétés algébriques de l’exponentielle, cela pourrait vous aider comme petit moyen mémo technique.

Voici la démonstration : r et r’ appartenant à R

1) Soit z = r (cos(alpha)+isin(alpha))

z’ = r’(cos(alpha’)+isin(alpha’))

zz’= rr’ (cos(alpha)+isin(alpha)) (cos(alpha’)+isin(alpha’)) = rr’(cos(alpha)*sin(alpha’)-sin(alpha)*sin(alpha’)+i(cos(alpha)*sin(alpha’)+sin(alpha)*cos(alpha’))= rr'(cos(alpha+alpha’)+isin(alpha+alpha’))

rr’>0 donc arg(zz’)= apha + alpha’  modulo 2pi                                                                                       =arg(z)+arg(z’)

Enfin nous avons vu la forme exponentielle qui nous permet de simplifier : cos(alpha)+isin(alpha)= exp^(i(alpha)   (c’est juste une notation de simplification car il n’y a pas de nombres complexes dans la fonction exponentielle)

Pour tout alpha appartenant à R                                                                                                           exp^(i(alpha)*exp(i(beta)=exp^(i(alpha+beta)                                                                                            exp^(i(alpha))/exp(i(beta))=exp^(i(alpha-beta)

Propriété: On doit savoir que si |z_A| = r, arg(z) = θ, on a alors :                                                        z =r exp^(i(teta)) c’est la forme exponentielle de z.